Games101学习笔记

1. 线性代数

1.1. 线性变换

我们首先举个二维平面下的例子。

二维线性变换可以写为：

$$ \begin{aligned} x' = ax + by. \\ y' = cx + dy. \end{aligned} $$

可以用矩阵 M 来表示： $$ \begin{bmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}. $$

这里有一个小技巧，就是将两个基向量 (1, 0), (0, 1) 分别代入，得到 (a, c), (b, d) 就是这两个基向量经过变换后的向量，从而快速得到矩阵 M。

1.2. 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）

在线性变换的基础上添加平移变换。

线性变换不能表示平移： $$ \begin{bmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} t_x\\t_y \end{bmatrix}. $$

为了将平移也加入一般的变换形式，提出齐次坐标，即在原有的坐标上添加一维 w。依旧是采用二维情况进行举例：

2D点：(x, y, 1)^T
2D向量：(x, y, 0)^T

这样就可以只用矩阵乘法来表示线性变换+平移（先变换后平移）： $$ \begin{bmatrix} x^{'}\\y^{'}\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a & b & t_x\\c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix}. $$

对于变换矩阵 M，求逆可得还原矩阵 M⁻¹。

1.3. 复合变换

在三维情况下，由于采用右手坐标系，因此变换为矩阵左乘，变换顺序由右往左： $$ A_n(...A_2(A_1(x))) = A_n\cdots A_2 \cdot A_1 \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix} $$

注：为什么右手坐标系要用矩阵左乘？由于这是笔者补档一年前的笔记，因此现在有点记不住了，问了大模型后说这是“约定俗成”的用法，在右手坐标系的图形库（如OpenGL）就是这么采用。相反，在左手坐标系的图形库（如DirectX）则反之。二者在数学上并无强制关联。

1.4. 三维变换

三维旋转矩阵（非齐次坐标），绕轴 n 转 α ： $$ R(n,\alpha)=\cos(\alpha)I+(1-\cos(\alpha))nn^T+\sin(\alpha) \begin{pmatrix} 0&-n_z&n_y\\ n_z&0&-n_x\\ -n_y&n_x&0 \end{pmatrix}. $$

1.5. 视图变换

MVP变换的V，或者MV。

想象你拿着相机进行拍照，需要哪些步骤？首先设置相机：

选择位置 e
选择观察方向 g
选择相机朝上的方向 t

为了方便，我们将相机移动到原点（场景的物体也随之移动），观察 −z，上方向为 y。这可以采用复合变换实现：

将相机移动到原点
将 g 旋转到 −z
将 t 旋转到 y
将 g × t 旋转到 x (事实上不需要这步，只不过方便后续数学推导表示)

上述变换除了第一步，后面旋转用矩阵难以实现，考虑逆复合变换。

假设矩阵为 M_view = R_viewT_view，其中平移矩阵很简单： $$ T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e\\ 0 & 1 & 0 & -y_e\\ 0 & 0 & 1 & -z_e\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

对于旋转矩阵，考虑其逆变换：x 旋转至 g × t，y 旋转至 t，z 旋转至 −g： $$ R_{view}^{-1} = \begin{bmatrix} x_{g\times t} & x_t & x_{-g} & 0\\ y_{g\times t} & y_t & y_{-g} & 0\\ z_{g\times t} & z_t & z_{-g} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

不难发现这是个正交矩阵（废话，旋转矩阵都是正交矩阵，即便是齐次表示），因此可以直接转置得到 R_view： $$ R_{view} = \begin{bmatrix} x_{g\times t} & y_{g\times t} & z_{g\times t} & 0\\ x_t & y_t & z_t & 0\\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

1.6. 投影变换

MVP中的P，将3D转换为2D。分为正交投影和透视投影。

二者区别如下，直接截图了：

1.6.1. 正交投影

这是一种简单的投影方式：

首先用视图变换，让相机移动到原点，观察 −z，上方向为 y
然后直接去掉 z 轴
缩放至平面 [−1, 1]²

其对应的变换矩阵为： $$ M_{ortho}= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}. $$

1.6.2. 透视投影

远的物体更小，平行线不再不行。

首先将这个视锥体压缩成长方体 M_{persp → ortho}，然后可以使用上述正交投影 M_ortho。

思考：在视锥体外面的物体如何考虑？在具体工程实现中可能会有这个问题，这里先挖坑。

主要的idea是上述提到过的“找出向量经过线性变换后在原坐标系的坐标值”。

首先考虑 y，这个很简单，根据相似三角形直接求出 $y^{'}=\frac{n}{z}y$：

x 也一样：$x^{'}=\frac{n}{z}x$。

根据目前的信息，用齐次坐标表示变换前后的坐标： $$ \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} nx/z\\ny/z\\unknown\\1 \end{pmatrix} == \begin{pmatrix} nx\\ny\\unknown\\z \end{pmatrix}. $$

考虑根据变换前后，推出矩阵 M_{persp → ortho}^4 × 4：

$$ M_{persp\rightarrow ortho}^{4\times 4} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} nx\\ny\\unknown\\z \end{pmatrix}. $$

注意到 x, y, z 都是变量，矩阵内部不能有这些变量，因此可以直接推出一些元素： $$ M_{persp\rightarrow ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

可以发现这个不是仿射变换矩阵的形式（最后一行前面都是0最后一个是1）。因此学到这里的时候，我知道，至少对于 z，它的变换肯定不是线性的。因此我有个疑问，就是明知道变换前后不是线性的，但为什么还能假定可以用矩阵来表示呢？矩阵可以表示齐次坐标的任意变换吗？

如何求出这些未知元素呢？这里我们考虑将坐标的 z 代入一些特殊值。

首先令 z = n： $$ \begin{pmatrix} x\\y\\n\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} nx\\ny\\n^2\\n \end{pmatrix}. $$

可以得出矩阵第三行为： $$ \begin{pmatrix} 0&0&A&B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\n\\1 \end{pmatrix} =n^2 $$

且可以得出：An + B = n²。

然后我们需要再来一个方程。我们知道所有在 f 面（即最后面的那一面）上的 z 是不会变的，因此有 $$ \begin{pmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0\\0\\f^2\\f \end{pmatrix}. $$

因此得到第二个方程 Af + B = f²。可以解得 A = n + f, B = −nf。

对于一般的 z，变换前后是变大还是变小了？（换句话说，更近还是更远了呢）根据上述求解可以得知 $z^{'}=n+f-\dfrac{nf}{z}$，直接算 z − z′ ，乘 z 后可以求得 z² − (n + f)z + nf < 0(f < z < n)。但因为 z < 0，所以 z > z^′，变换后的 z 更小，即更远了。